AI를 활용한 수학

정적분은 어떻게 태어났나 — 직사각형 근사에서 길쭉한 S(∫)까지

들어가며 삼각형 넓이는 밑변 곱하기 높이 나누기 둘, 원 넓이는 반지름을 두 번 곱하고 원주율을 곱합니다. 이렇게 익숙한 도형은 넓이 공식을 외워 두면 됩니다. 그런데 곡선이 이리저리 휘어 만든 울퉁불퉁한 넓이는, 외워 둔 공식이 하나도 없습니다. ...

n계 미분방정식엔 왜 임의의 상수가 정확히 n개 생기나 — 되감아야 할 미분 횟수

들어가며 보통 방정식은 답이 몇 개의 숫자로 끝납니다. 그런데 미분방정식의 답은 숫자가 아니라 함수, 그러니까 곡선 하나 전체입니다. 게다가 그 답에는 늘 정체불명의 상수가 따라붙습니다. ...

미분방정식의 답은 왜 숫자가 아니라 함수인가 — dx를 분수처럼 옮겨도 되는 이유

들어가며 보통 방정식은 답이 숫자로 나옵니다. "두 배 하면 4가 되는 수는?" 하면 답은 그냥 $2$이고, "제곱하면 4가 되는 수는?" 하면 $2$와 $-2$, 두 개입니다. 답이 몇 개든 그건 수직선 위의 점 몇 개입니다. ...

복잡한 분수는 왜 작은 분수들의 합으로 정확히 쪼개지나 — 부분분수와 분자가 분모의 미분일 때 튀어나오는 로그

들어가며 분수를 적분하는 일은 종종 막막합니다. 예를 들어 이런 적분을 만나면 어디서 손을 대야 할지 감이 안 옵니다. $$\int \frac{3x+1}{(x+1)(x-1)} \, dx$$여기서 $\int$은 "잘게 쪼갠 것을 전부 더한다"는 뜻의 길쭉한 S 모양 적분 기호이고, $dx$는 더하는 방향이 $x$라는 표시입니다. 분모가 두 개의 곱 $(x+1)(x-1)$로 엉켜 있어서, 이대로는 아는 공식이 하나도 안 통합니다. ...

치환적분은 왜 어떤 변수로 놓아도 풀리나 — dx의 정체와 지수가 −1일 때 뚫리는 구멍

들어가며 치환적분(substitution)을 처음 만나면, 계산이 꼭 손재주 좋은 마술처럼 느껴집니다. 예를 들어 이런 적분을 봅시다. $$\int (2x+1)^{5} \, dx$$여기서 $\int$은 "잘게 쪼갠 것을 전부 더한다"는 뜻의 길쭉한 S 모양 적분 기호이고, $dx$는 그 더하는 방향이 $x$라는 표시입니다. 이걸 풀 때 우리는 괄호 속 $2x+1$을 새 문자 $u$로 부르고, 어느 순간 $dx$를 $du$로 통째로 갈아 끼웁니다. 그런데 그 과정에서 어디선가 $\tfrac{1}{2}$라는 보정계수가 슬쩍 튀어나옵니다. 이 $\tfrac{1}{2}$은 도대체 어디서 왔을까요? ...

적분엔 왜 +C가 따라붙나 — 미분이 지운 정보를 되살리는 부정적분

들어가며 적분을 처음 배우면 답 끝에 늘 정체불명의 손님이 붙습니다. $$\int 2x \, dx = x^{2} + C$$여기서 $\int$은 "잘게 쪼갠 것을 전부 더한다"는 뜻의 길쭉한 S 모양 적분 기호이고, $dx$는 그 더하는 방향이 $x$라는 표시입니다. 그런데 정작 눈에 밟히는 건 맨 뒤의 $C$입니다. 이 $C$는 임의의 상수 — 즉 $3$이든 $-7$이든 아무 숫자나 될 수 있는 자리입니다. 왜 답을 딱 하나로 못 쓰고, 굳이 이런 "아무 숫자" 하나를 매번 붙여야 할까요? ...

로피탈 정리는 왜 반칙이 아닌가 — 0/0은 두 함수의 속도 경쟁이다

들어가며 극한을 배우다 보면 이런 계산을 만납니다. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{e^{x} - 1}$$여기서 $\lim$은 "$x$를 $0$에 한없이 가까이 보낼 때 이 식이 다가가는 값"을 뜻합니다. 그런데 $x$에 그냥 $0$을 대입하면 분자는 $\sin 0 = 0$, 분모는 $e^{0} - 1 = 0$이 되어 $0/0$이 나옵니다. 여기서 $e$는 미적분의 주인공인 자연상수(약 $2.718$)이고, $e^{x}$는 밑이 $e$인 지수함수입니다. ...

기울기 하나가 곡선의 모양을 다 말한다 — 접선·법선에서 증가·극값까지

들어가며 미분을 배우고 나면 손에 쥐는 건 결국 숫자 하나입니다. 곡선 $y = f(x)$ 위의 한 점 $x = a$에서 구한 미분값 $f'(a)$ — "그 점에서 곡선이 얼마나 가파른가"를 나타내는 값이죠. 여기서 $f'(a)$라고 쓴 것은 그 점에서의 순간 기울기를 뜻합니다(왜 이게 순간 기울기인지는 미분은 왜 '순간 기울기'인가에서 다뤘습니다). ...

y를 못 풀어도, t로 적혀 있어도, 거꾸로여도 미분된다 — 연쇄법칙의 세 가지 변주

들어가며 미분을 처음 배울 때는 늘 $y = f(x)$ 꼴, 즉 $y$가 $x$에 대해 깔끔하게 풀려 있는 식을 다룹니다. 그런데 현실의 곡선은 그렇게 얌전하지 않습니다. 원의 방정식 $x^2 + y^2 = 1$은 $y$에 대해 한 줄로 풀 수 없습니다(위·아래 두 조각으로 갈라지죠). 이런 걸 음함수라고 부릅니다. 어떤 함수를 거꾸로 뒤집은 역함수는, 원래 함수의 식만 알아도 그 기울기를 알 수 있어야 할 것 같습니다. 포물선을 던진 공의 궤적처럼, 곡선이 $x = (\text{시간 } t\text{의 식})$, $y = (\text{시간 } t\text{의 식})$처럼 시간을 매개로 적혀 있을 때도 접선 기울기가 궁금합니다. 세 상황은 겉보기에 완전히 다릅니다. 그런데 놀랍게도 셋 다 같은 무기 하나로 풀립니다 — 연쇄법칙(chain rule). 이 글의 목표는 세 공식을 따로 외우는 게 아니라, "아, 결국 다 연쇄법칙이구나" 하고 한 번에 꿰는 것입니다. ...

지수함수는 왜 밑이 e일 때만 미분이 깨끗할까 — 다른 밑엔 로그 배율, 로그함수엔 역수가 붙는 이유

들어가며 앞 글에서 사인을 미분하면 코사인이 되는 것을 회전 하나로 세웠습니다. 오늘은 미분의 또 다른 두 기둥, 지수함수와 로그함수로 갑니다. 이야기의 출발점은 예전에 만난 사실 하나입니다. 밑이 $e$인 지수함수 $e^x$는 미분해도 자기 자신입니다. ...