들어가며
시험지에 이렇게 쓰는 순간, 점수가 날아갑니다.
$$\sqrt{9 - 4} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$$맞아 보이지만 틀렸습니다. 실제로는 \(\sqrt{9-4} = \sqrt{5} \approx 2.24\) 예요.
이런 실수는 "루트를 괄호 안에서 그냥 떼어내도 된다"고 착각해서 생깁니다. 그런데 루트는 곱셈·나눗셈 앞에서만 분리되고, 덧셈·뺄셈 앞에서는 분리되지 않습니다. 이 글에서는 왜 그런지를 제곱해서 비교하는 한 가지 방법으로 끝까지 추적해 봅니다. 외우는 게 아니라 보이게 만드는 게 목표예요.
루트의 정의부터
먼저 \(\sqrt{a}\) 가 무슨 뜻인지 다시 못 박고 갑시다.
\(\sqrt{a}\) 는 "제곱하면 \(a\) 가 되는 0 이상의 수" 입니다. (여기서는 \(a \ge 0\) 인 경우만 다룹니다.)
즉 \(\sqrt{a}\) 의 가장 중요한 성질은 딱 하나입니다.
$$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$앞으로 모든 판단은 이 한 줄로 합니다. "어떤 식을 제곱했더니 괄호 안이 그대로 나오는가?" — 그러면 그게 그 수의 루트가 맞는 겁니다. 이 기준 하나로 곱셈·덧셈·뺄셈을 차례로 시험해 보겠습니다.
되는 것 — 곱셈과 나눗셈
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) 가 \(\sqrt{ab}\) 와 같은지 확인하려면, \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) 를 제곱해서 \(ab\) 가 나오는지 보면 됩니다.
$$ \left(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \cdot \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \cdot b $$제곱했더니 정확히 \(ab\) 가 나왔습니다. 군더더기 항이 하나도 없죠. 그러니 \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) 는 \(ab\) 의 루트가 맞습니다.
$$ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} $$나눗셈도 똑같은 이유로 성립합니다.
$$ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{a}{b} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad (b > 0) $$이 두 규칙은 언제나 성립합니다. 핵심은 "제곱했을 때 깔끔하게 괄호 안만 남는다"는 것이었어요.
안 되는 것 — 덧셈과 뺄셈
그럼 덧셈은 왜 안 될까요? 똑같이 \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) 를 제곱해 봅시다. 곱셈 때와 무엇이 다른지가 여기서 드러납니다.
곱셈 공식 \((p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2\) 을 \(p=\sqrt{a},\ q=\sqrt{b}\) 에 그대로 적용합니다.
$$ \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + \left(\sqrt{b}\right)^2 = a + 2\sqrt{ab} + b $$결과를 보면 \(a + b\) 외에 \(2\sqrt{ab}\) 라는 여분의 항이 더 붙었습니다. 우리가 원하던 건 제곱했을 때 딱 \(a+b\) 만 나오는 것이었는데, 군더더기가 생긴 거죠.
$$ \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \;\neq\; a + b $$\(a, b\) 가 둘 다 양수면 \(2\sqrt{ab} > 0\) 이라 이 여분 항은 절대 사라지지 않습니다. 따라서 \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) 는 \(a+b\) 의 루트가 아닙니다.
$$ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \qquad \text{(일반적으로)} $$뺄셈도 같은 방식으로 어긋납니다. \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) 를 제곱하면
$$ \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 = a - 2\sqrt{ab} + b \;\neq\; a - b $$역시 \(-2\sqrt{ab}\) 라는 여분 항 때문에 \(a-b\) 가 깔끔하게 나오지 않습니다.
$$ \sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b} \qquad (a > b > 0) $$숫자로 확인
처음의 \(\sqrt{9-4}\) 로 돌아가 봅시다.
| 식 | 계산 |
|---|---|
| \(\sqrt{9-4}\) | \(\sqrt{5} \approx 2.24\) |
| \(\sqrt{9} - \sqrt{4}\) | \(3 - 2 = 1\) |
| 차이 | \(2.24 - 1 = 1.24 \neq 0\) |
여분 항으로도 확인됩니다. \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{9\cdot 4} = 2\cdot 6 = 12\) 만큼이 어긋남의 원인이에요. (제곱 단계에서 생기는 그 항입니다.)
요약하면 이렇습니다.
루트는 ×, ÷ 앞에서만 분리됩니다. +, − 앞에서는 분리할 수 없어요. 이유는 하나 — 덧셈·뺄셈을 제곱하면 \(2\sqrt{ab}\) 라는 여분 항이 생기기 때문입니다.
직접 만져 보기
A, B 슬라이더를 움직이면 세 가지 식이 실시간으로 비교됩니다.
- \(\sqrt{A\times B}\) 와 \(\sqrt{A}\times\sqrt{B}\) → 항상 일치(✓)
- \(\sqrt{A+B}\) 와 \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\) → 일치하지 않음(✗)
- \(\sqrt{A-B}\) 와 \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\) → 일치하지 않음(✗)
A=9, B=4를 기본값으로 두면 \(\sqrt{9-4} = \sqrt{5} \approx 2.24\) 가 \(3-2=1\) 과 다르다는 게 바로 눈에 보입니다. 어떤 A, B를 넣어도 곱셈 줄만 ✓로 유지되는지 확인해 보세요.
핵심 정리
| 연산 | 분리 여부 | 제곱해 보면 |
|---|---|---|
| 곱셈 \(\sqrt{ab}\) | ✓ 분리됨 | \((\sqrt{a}\sqrt{b})^2 = ab\) — 여분 항 없음 |
| 나눗셈 \(\sqrt{a/b}\) | ✓ 분리됨 | \((\sqrt{a}/\sqrt{b})^2 = a/b\) — 여분 항 없음 |
| 덧셈 \(\sqrt{a+b}\) | ✗ 불가 | \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\) |
| 뺄셈 \(\sqrt{a-b}\) | ✗ 불가 | \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b\) |
판단 기준은 늘 하나입니다. "제곱했을 때 괄호 안이 군더더기 없이 그대로 나오는가?" 곱·나눗셈은 그렇고, 덧·뺄셈은 \(2\sqrt{ab}\) 가 남아서 안 됩니다.
AI로 이런 걸 공부할 때
"왜 안 되는지"를 물을 때 AI는 보통 반례(숫자)를 바로 만들어 줍니다. 예를 들어 "√(a+b)=√a+√b가 틀린 이유를 제곱해서 보여 줘"라고 하면 위와 같은 전개를 단계별로 받을 수 있어요. 다만 AI가 제시한 숫자는 위 인터랙티브처럼 직접 값을 넣어 교차 검증하는 습관이 중요합니다.
마치며
이 실수의 뿌리는 "규칙이 어디까지 적용되는지"를 확인하지 않은 데 있습니다.
- 루트의 분리(분배)는 ×, ÷ 에만 적용됩니다.
- +, − 앞에서는 분리하지 말고 괄호 안을 먼저 계산해야 해요.
- 헷갈릴 땐 "제곱해서 비교" — 여분 항 \(2\sqrt{ab}\) 가 나오면 분리 불가의 신호입니다.
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