삼각함수는 도대체 목적이 뭔가 — 반복(파동)을 표현하는 언어

들어가며

이런 생각을 해 본 적 없으신가요?

"삼각함수는 도대체 왜 배우는 거지? sin, cos, 덧셈정리, 배각공식… 이게 다 뭐에 쓰이는 거야?"

저도 오래 이 질문에 막혔습니다. 공식은 외울 수 있었지만, 왜 이 공식들이 필요한가는 잘 몰랐어요. 교재에서는 각각의 공식을 따로 증명하고 넘어가니, 전체 목적이 보이지 않았습니다.

한 줄로 먼저 말하겠습니다.

삼각함수의 목적은 반복(파동)을 표현하는 것입니다. 소리, 빛, 전기 신호, 건물이 흔들리는 진동 — 세상에서 "반복"하는 모든 현상은 sin과 cos로 표현됩니다. 공식들은 그 파동을 조작하는 도구들이에요.

이 글에서는 공식 하나하나를 "왜 이게 필요한가"의 관점으로 다시 보고, 모든 유도 과정을 한 단계도 건너뛰지 않고 천천히 풀어 보겠습니다.

sin(x)는 반복의 가장 기본 단위

단위원(반지름 1인 원) 위의 점을 생각해 봅시다. 이 점을 각도 $x$만큼 반시계 방향으로 돌리면, 점의 높이(y좌표)가 $\sin(x)$입니다.

$x$를 0에서 $2\pi$까지 늘리면 점은 원을 한 바퀴 돕니다. 그러면 $\sin(x)$는 0에서 출발해서 1까지 올라갔다가 −1까지 내려온 뒤 다시 0으로 돌아옵니다. 그리고 $2\pi$마다 정확히 같은 모양이 반복되죠.

$$ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) $$

이것이 핵심입니다. sin(x)는 반복하도록 설계된 함수예요. 그래서 반복하는 자연 현상을 수식으로 쓸 때 sin(과 cos)가 나오는 겁니다.

A, ω, φ — 세 개의 손잡이

기본 $\sin(x)$에 손잡이 세 개를 달면 어떤 단순 반복 신호든 만들 수 있습니다.

$$ y = A\sin(\omega x + \phi) $$

$A$ : 진폭 — 파동이 위아래로 얼마나 크게 출렁이는가
$\omega$ : 각주파수 — 얼마나 빨리(촘촘히) 반복하는가
$\phi$ : 위상 — 파동이 어느 지점에서 시작하는가

말로만 보면 추상적이니 실제 숫자를 하나 넣어 봅시다.

$$ y = 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{2}\right) $$

이 식은 이렇게 읽습니다.

$A = 2$ : 값이 $+2$와 $-2$ 사이를 오갑니다. 기본 $\sin$(−1~+1)보다 2배 크게 출렁이죠.
$\omega = 3$ : 보통 $\sin x$는 $x$가 $2\pi$만큼 가야 한 바퀴인데, 여기선 $3x$라서 $x$가 $\frac{2\pi}{3}$만 가도 벌써 한 바퀴입니다. 즉 3배 빠르게 반복합니다. (한 바퀴 도는 데 걸리는 주기 $= \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3}$)
$\phi = \frac{\pi}{2}$ : $x = 0$을 넣어 보면 $y = 2\sin\frac{\pi}{2} = 2\times 1 = 2$. 즉 출발하자마자 꼭대기(+2)에서 시작합니다. 위상은 이렇게 파동의 시작 위치를 옮기는 역할이에요.

이 세 숫자 $(A, \omega, \phi)$만 정하면 어떤 단순 반복 신호든 그릴 수 있습니다. 실제로 음악의 '라(A4)' 음은 1초에 440번 진동하는 파동인데, 공기의 압력 변화를 $y = A\sin(2\pi\cdot 440\cdot t + \phi)$ 처럼 바로 이 꼴로 적습니다. (여기서는 $\omega = 2\pi\cdot 440$ 이 되는 셈이죠.)

공식의 목적 ①: 덧셈정리 — 두 파동을 합친다

이제 공식을 봅시다.

$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $$

이 공식은 "위상이 $\beta$만큼 밀린 파동"을 "원래 파동의 sin·cos 조합"으로 풀어 씁니다. 왜 이게 필요할까요?

현실에서 두 파동이 동시에 겹칩니다. 스피커 두 개에서 같은 주파수의 소리가 나오면, 두 파동이 공간에서 합쳐집니다. 그 합성 결과가 어떤 파동인지 알려면 덧셈정리가 필요해요. 위상이 $\phi_1$, $\phi_2$인 두 파동을 수식으로 더하려면 $\sin(x + \phi)$ 를 전개해야 하고, 그 도구가 바로 덧셈정리입니다.

한마디로: 덧셈정리 = 위상(시작 시각)이 다른 두 파동을 수식으로 더할 수 있게 해 주는 공식.

덧셈정리 자체는 단위원 위에서 각을 $\alpha + \beta$만큼 돌린 점의 좌표를 계산하면 나옵니다. 이 글에서는 이 공식을 "이미 손에 쥔 도구"로 보고, 여기서 다른 공식들이 어떻게 갈라져 나오는지에 집중하겠습니다.

공식의 목적 ②: 배각·반각공식 — 주파수를 바꾼다

덧셈정리에서 배각공식 꺼내기

배각공식은 따로 외울 게 아니라, 덧셈정리에서 $\beta = \alpha$ 로 놓기만 하면 바로 나옵니다.

먼저 sin부터 해 봅시다. 위 덧셈정리의 $\beta$ 자리에 전부 $\alpha$를 넣습니다.

$$ \sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $$

(같은 항 $\sin\alpha\cos\alpha$ 가 두 번 나와서 $2\sin\alpha\cos\alpha$ 가 됩니다.)

cos도 똑같은 방법으로 합니다. 그런데 cos의 덧셈정리는 sin과 부호가 다릅니다.

$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$

여기에 $\beta = \alpha$ 를 넣으면:

$$ \cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $$

이게 바로 "갑자기 튀어나온 것처럼 보이던" $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ 의 정체입니다. 하늘에서 떨어진 공식이 아니라, cos 덧셈정리에 $\beta = \alpha$ 를 넣어 정리한 결과예요.

이렇게 만든 $\sin(2\alpha)$ 는 $\sin(\alpha)$ 보다 두 배 빠르게 반복합니다. 즉 주파수를 2배로 만드는 공식이 배각공식입니다.

배각공식에서 반각공식 꺼내기

이번엔 반대로 주파수를 절반으로 낮춰 봅시다. 출발점은 방금 구한 $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ 입니다.

여기서 피타고라스 항등식 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ 을 씁니다. 이걸 $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ 로 바꿔서, 위 식의 $\cos^2\alpha$ 자리에 그대로 대입합니다.

$$ \cos(2\alpha) = \underbrace{(1 - \sin^2\alpha)}_{\cos^2\alpha} - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $$

($-\sin^2\alpha$ 가 두 번 모여서 $-2\sin^2\alpha$ 가 됩니다.)

이제 이 식을 $\sin^2\alpha$ 에 대해 풀겠습니다. ("$\sin^2\alpha$ 를 정리한다"는 게 바로 이 과정입니다.) 한 줄씩 옮겨 봅시다.

$$ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $$

$2\sin^2\alpha$ 를 왼쪽으로, $\cos(2\alpha)$ 를 오른쪽으로 옮기면:

$$ 2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha) $$

양변을 2로 나누면:

$$ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $$

마지막으로, 각을 보기 좋게 절반 단위로 바꾸겠습니다. $\alpha = \frac{\theta}{2}$ 로 두면 $2\alpha = \theta$ 이므로, 위 식의 $\alpha$ 자리에 $\frac{\theta}{2}$ 를, $2\alpha$ 자리에 $\theta$ 를 넣으면:

$$ \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2} $$

오른쪽을 보면, $\sin^2$(각이 $\theta/2$ 인 파동)이 $\cos\theta$(그보다 2배 큰 각, 즉 2배 빠른 파동)로 표현됐습니다. 주파수를 절반으로 내려다보는 변환인 셈입니다.

한마디로: 배각·반각공식 = 파동의 주파수를 올리거나 낮추는 도구.

공식의 목적 ③: 합성 — 최대진폭 R 구하기

실제로 가장 많이 쓰이는 목적은 이것입니다. 두 파동을 더한 결과가 얼마나 큰 파동인지 구하는 것.

$$A_1\sin(x + \phi_1) + A_2\sin(x + \phi_2) = R\sin(x + \phi)$$

오른쪽처럼 하나의 sin 파동으로 정리할 수 있을까요? 할 수 있습니다. 덧셈정리로 좌변을 전개하면 됩니다.

유도

덧셈정리를 두 항에 각각 적용합니다.

$$A_1\sin(x + \phi_1) = A_1\sin x\cos\phi_1 + A_1\cos x\sin\phi_1$$$$A_2\sin(x + \phi_2) = A_2\sin x\cos\phi_2 + A_2\cos x\sin\phi_2$$

두 식을 더한 뒤, $\sin x$ 가 붙은 항끼리, $\cos x$ 가 붙은 항끼리 묶습니다.

$$= \underbrace{(A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2)}_{a}\,\sin x \;+\; \underbrace{(A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2)}_{b}\,\cos x$$

이제 $a\sin x + b\cos x$ 를 하나의 sin으로 묶으면 됩니다. 목표 모양 $R\sin(x + \phi)$ 도 덧셈정리로 펴 보면:

$$R\sin(x + \phi) = R\sin x\cos\phi + R\cos x\sin\phi = (R\cos\phi)\sin x + (R\sin\phi)\cos x$$

$\sin x$ 끼리, $\cos x$ 끼리 계수를 맞추면:

$$R\cos\phi = a, \qquad R\sin\phi = b$$

R 구하기 — 두 식을 각각 제곱해서 더합니다. ($\cos^2\phi + \sin^2\phi = 1$ 이 깔끔하게 작동합니다.)

$$R^2\cos^2\phi + R^2\sin^2\phi = a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; R^2(\cos^2\phi + \sin^2\phi) = a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; R^2 = a^2 + b^2$$$$\boxed{R = \sqrt{a^2 + b^2}} \qquad \text{단,}\quad a = A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2,\; b = A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2$$

φ 구하기 — 두 식을 나누면 $R$ 이 사라집니다.

$$\frac{R\sin\phi}{R\cos\phi} = \frac{b}{a} \;\Rightarrow\; \tan\phi = \frac{b}{a} \;\Rightarrow\; \phi = \arctan\frac{b}{a}$$

(단 $a < 0$ 이면 사분면을 맞추기 위해 $180°$ 를 더해 줍니다.)

왜 하필 빗변일까 — 직각삼각형으로 보기

왜 $R = \sqrt{a^2+b^2}$ 라는 빗변 모양이 나올까요? $a\sin x$ 와 $b\cos x$ 는 서로 $90°$ 어긋난(수직인) 두 방향의 성분이라고 볼 수 있습니다. 마치 가로로 $a$, 세로로 $b$ 만큼 간 것과 같죠. 그래서 둘을 합친 파동의 크기 $R$ 은 직각삼각형의 빗변처럼 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 이 되고, 위상 $\phi$ 는 그 빗변이 이루는 각이 됩니다.

숫자로 직접 해 보기

말로만 보면 와닿지 않으니, 실제 숫자를 넣어 봅시다. 두 파동을 이렇게 잡겠습니다.

파동 1: $3\sin x$ → 진폭 $A_1 = 3$, 위상 $\phi_1 = 0°$
파동 2: $4\sin(x + 90°)$ → 진폭 $A_2 = 4$, 위상 $\phi_2 = 90°$

먼저 $a, b$ 를 계산합니다. ($\cos 0° = 1,\ \sin 0° = 0,\ \cos 90° = 0,\ \sin 90° = 1$ 만 알면 됩니다.)

$$a = A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2 = 3\times 1 + 4\times 0 = 3$$$$b = A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2 = 3\times 0 + 4\times 1 = 4$$

그러면 최대진폭은

$$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

위상은

$$\phi = \arctan\frac{b}{a} = \arctan\frac{4}{3} \approx 53.13°$$

즉,

$$3\sin x + 4\sin(x + 90°) = 5\sin(x + 53.13°)$$

진폭 3짜리 파동과 진폭 4짜리 파동을 $90°$ 어긋나게 합쳤더니, 3·4·5 직각삼각형의 빗변처럼 진폭 5짜리 파동이 나왔습니다. 이게 합성의 핵심 그림이에요.

검산 — $\sin(x + 90°) = \cos x$ 이므로 좌변은 $3\sin x + 4\cos x$. 우변을 덧셈정리로 펴면 $5(\sin x\cos 53.13° + \cos x\sin 53.13°) = 5(0.6\sin x + 0.8\cos x) = 3\sin x + 4\cos x$. 양변이 정확히 같습니다. ($\cos 53.13° \approx 0.6,\ \sin 53.13° \approx 0.8$)

특수한 경우로 감 잡기

몇 가지 특수 경우를 확인하면 이 공식이 직관적으로 맞는다는 걸 알 수 있습니다.

같은 방향 ($\phi_1 = \phi_2 = 0°$): $a = A_1 + A_2$, $b = 0$, 따라서 $R = A_1 + A_2$ — 진폭이 그냥 더해집니다.
반대 방향 ($\phi_2 - \phi_1 = 180°$): $a = A_1 - A_2$, $b = 0$, 따라서 $R = |A_1 - A_2|$ — 두 파동이 서로 상쇄됩니다.
90° 차이: $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ — 위 3·4·5 예시처럼 피타고라스 정리로 합산됩니다.

직접 만져 보기

아래에서 두 파동의 진폭(A)과 위상(φ)을 조절하면서 합성파(초록)가 어떻게 바뀌는지 확인해 보세요. 프리셋 버튼으로 특수한 경우를 바로 비교할 수 있습니다.

"같은 방향": 두 파동이 같은 위상 → 진폭이 단순 합산됩니다.
"반대 방향": 위상차 180° → 서로 상쇄해서 R ≈ 0.
"90° 차이": 위상차 90° → 피타고라스처럼 R = √(A₁² + A₂²).
"일반 합성": A₁, A₂, φ₁, φ₂ 를 자유롭게 조합해 보세요. (위 본문의 A₁=3, A₂=4, 위상차 90°를 넣으면 R=5가 나오는지도 확인해 보세요.)

두 파동 합성 — 직접 체험

진폭과 위상을 바꾸면서, 합성파(초록)의 최대진폭 R과 위상 φ가 어떻게 계산되는지 확인해 보세요. R = √(a²+b²) 값이 화면 아래 패널에 실시간으로 표시됩니다.

위상차(Δφ)를 0°에서 180°로 천천히 올려 보면, R이 A₁+A₂에서 |A₁−A₂|로 부드럽게 줄어드는 것이 보입니다.

핵심 정리

공식	목적
$\sin(x)$ 자체	반복(파동)의 기본 단위
덧셈정리 $\sin(\alpha+\beta)$	위상이 다른 두 파동을 수식으로 합침
배각공식 $\sin(2\alpha)$	파동 주파수를 2배로
반각공식 $\sin^2\tfrac{\theta}{2}$	파동 주파수를 반으로
합성 $R\sin(x+\phi)$	두 파동의 최대진폭·위상 계산

핵심 공식만 다시 모으면:

배각: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$
반각: $\sin^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 - \cos\theta}{2}$
합성: $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\tan\phi = \dfrac{b}{a}$, 단 $a = A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2$, $b = A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2$
특수 경우: 같은 방향이면 $R = A_1 + A_2$, 반대 방향이면 $R = |A_1 - A_2|$, 90° 차이면 $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$

AI로 이런 걸 공부할 때

이 개념을 처음 볼 때 가장 어려웠던 부분은 "공식이 왜 필요한지"였습니다. 교재는 유도만 보여주지, 어디에 쓰이는지는 뒤에 가서야 알게 됩니다. AI에게 "덧셈정리가 파동 합성에서 어떻게 쓰이는지 예를 들어 설명해 줘"라고 물으면 바로 목적부터 보여주므로, 역방향으로 학습하기 좋습니다.

단, AI가 제시하는 수치(특히 계산 결과)는 직접 교차 검증하는 습관이 중요합니다. 위 인터랙티브처럼 실제로 값을 계산해 보여주는 도구를 함께 쓰면 AI 설명의 정확성을 그 자리에서 확인할 수 있습니다.

마치며

삼각함수 공식들이 각각 떠돌던 이유는 목적이 보이지 않았기 때문입니다. 목적을 알면 공식이 하나의 이야기가 됩니다.

sin(x) → 반복의 기본 언어
덧셈정리 → 두 파동을 합치는 문법
배각·반각 → 주파수를 조절하는 변환
합성 R → 합쳐진 파동의 크기 계산

외울 게 사라지지는 않지만, 각 공식을 만날 때마다 "이게 파동에서 하는 역할"이 떠오른다면 훨씬 납득이 될 거라 생각합니다.

공식	목적
\(\sin(x)\) 자체	반복(파동)의 기본 단위
덧셈정리 \(\sin(\alpha+\beta)\)	위상이 다른 두 파동을 수식으로 합침
배각공식 \(\sin(2\alpha)\)	파동 주파수를 2배로
반각공식 \(\sin^2\tfrac{\theta}{2}\)	파동 주파수를 반으로
합성 \(R\sin(x+\phi)\)	두 파동의 최대진폭·위상 계산

들어가며#

sin(x)는 반복의 가장 기본 단위#

A, ω, φ — 세 개의 손잡이#

공식의 목적 ①: 덧셈정리 — 두 파동을 합친다#

공식의 목적 ②: 배각·반각공식 — 주파수를 바꾼다#

덧셈정리에서 배각공식 꺼내기#

배각공식에서 반각공식 꺼내기#

공식의 목적 ③: 합성 — 최대진폭 R 구하기#

유도#

왜 하필 빗변일까 — 직각삼각형으로 보기#

숫자로 직접 해 보기#

특수한 경우로 감 잡기#

직접 만져 보기#

핵심 정리#

AI로 이런 걸 공부할 때#

마치며#