들어가며
$$\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$기호부터 짚고 가겠습니다. \(f(x)\)는 어떤 지점 \(x\)에서의 함수값이고, \(h\)는 \(x\)에서 옆으로 조금 떨어진 거리 — 두 입력값 사이의 가로 간격(\(x\)의 변화량)입니다. 그러면 \(f(x+h)\)는 \(x\)에서 \(h\)만큼 떨어진 지점의 함수값이므로, 분자 \(f(x+h) - f(x)\)는 두 지점 사이의 세로 변화량, 분모 \(h\)는 가로 변화량이 됩니다. 즉 이 분수는 "가로로 \(h\)만큼 갈 때 세로로 얼마나 변하는가"라는 기울기이고, 앞의 \(\lim_{h \to 0}\)은 그 간격 \(h\)를 0으로 한없이 좁혀간다는 뜻입니다.
이 식을 처음 보면 이런 의심이 생깁니다.
"분자 \(f(x+h) - f(x)\)도 \(h \to 0\)이면 0이 되고, 분모 \(h\)도 0이 되잖아. 0을 0으로 나누는 거 아닌가? 왜 값이 나오지?"
정당한 의심입니다. 0/0은 수학에서 정의되지 않으니까요. 그런데 미분은 분명히 값을 줍니다. 무슨 일이 벌어지고 있는 걸까요?
한 줄로 먼저 말하면 — 우리는 \(h = 0\)을 대입하는 것이 아니라, \(h \neq 0\)인 동안 식을 단순화한 뒤 그 결과의 극한을 봅니다. \(h\)가 0이 되기 전에 이미 식이 정리되어, 더 이상 0으로 나누는 일이 생기지 않습니다.
기울기란 무엇인가 — 직선에서 시작
두 점 \((x_1, y_1)\)과 \((x_2, y_2)\)를 지나는 직선의 기울기는:
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$이건 완전히 안전합니다. \(x_2 \neq x_1\)이기만 하면 분모가 0이 되지 않습니다.
참고로 직선 자체는 보통 \(y = mx + b\) 꼴로 씁니다. 여기서 \(m\)이 방금 구한 기울기(가로로 1 갈 때 세로로 \(m\)만큼 변함)이고, \(b\)는 직선이 \(y\)축과 만나는 높이(\(y\)절편)입니다. 기울기 \(m\) 하나가 직선이 얼마나 가파른지를 통째로 결정하므로, 어떤 점에서의 "순간 기울기"를 안다는 건 곧 그 점에서 곡선에 딱 맞닿는 직선의 방정식을 안다는 뜻이기도 합니다.
곡선에서도 두 점을 잡아 같은 공식으로 기울기를 구할 수 있습니다. 이때 그 두 점을 직선으로 이으면 곡선을 두 군데에서 가로지르는 직선이 생기는데, 이것을 할선(割線, secant line) 이라고 부릅니다(자를 할(割) — 곡선을 자르듯 지나가는 선). 할선의 기울기는 두 점 사이의 평균 기울기이고, 두 점이 서로 다르기만 하면 분모가 0이 아니라 문제없이 구해집니다. 뒤에서 우리는 이 두 점을 한없이 가까이 붙여, 할선을 곡선에 한 점에서만 닿는 직선 — 접선(接線, tangent line) — 으로 수렴시킬 겁니다.
문제는 "두 점 사이의 평균 기울기"가 아니라 한 점에서의 순간 기울기를 원할 때입니다. 점이 하나면 직선을 정의할 수 없는데, 어떻게 기울기를 구할까요?
아이디어 — 한 점을 고정하고 다른 점을 가까이 당기기
\(y = x^2\) 위의 점 \(P = (x_0, x_0^2)\)에서의 순간 기울기를 구해 봅시다.
먼저 \(P = (x_0,\ x_0^2)\)라는 표기부터 짚고 갑시다. \(P\)는 곡선 \(y = x^2\) 위의 점이므로, \(x\)좌표를 \(x_0\)로 정하면 \(y\)좌표는 식에 그대로 대입한 값, 즉 \(x_0^2\)으로 자동으로 따라옵니다. 따로 정해 줄 필요가 없는 것이죠. 여기서 \(x_0\)는 "우리가 기울기를 알고 싶은 지점의 \(x\)좌표"를 가리키는 고정된 값입니다(예컨대 \(x_0 = 1\)처럼 특정 숫자 하나라고 생각해도 됩니다). 같은 이유로, \(x\)좌표가 \(x_0 + h\)인 점의 \(y\)좌표는 \((x_0 + h)^2\)이 됩니다.
- \(P\)에서 \(h\)만큼 떨어진 두 번째 점을 잡습니다: \(Q = (x_0 + h,\ (x_0+h)^2)\)
- 두 점의 할선 기울기를 계산합니다.
- \(h\)를 점점 0에 가깝게 줄입니다.
- 그 기울기가 수렴하는 값이 P에서의 순간 기울기입니다.
2단계부터 실제로 계산해 봅시다.
\(y = x^2\)에서 직접 유도하기
$$\text{할선 기울기} = \frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h}$$분자를 전개합니다.
$$(x_0 + h)^2 = x_0^2 + 2x_0 h + h^2$$따라서:
$$(x_0 + h)^2 - x_0^2 = 2x_0 h + h^2$$이걸 \(h\)로 나눕니다.
$$\frac{2x_0 h + h^2}{h} = 2x_0 + h$$여기가 핵심입니다. \(h\)로 나누는 단계에서 \(h \neq 0\)이기 때문에 아무 문제가 없습니다. 분자와 분모의 \(h\)가 약분되어, 깔끔한 식 \(2x_0 + h\)만 남았습니다.
이제 \(h \to 0\) 극한을 취합니다.
$$\lim_{h \to 0}(2x_0 + h) = 2x_0 + 0 = 2x_0$$더 이상 0/0 문제가 없습니다. 식이 이미 정리된 상태에서 극한을 취했기 때문입니다. 결론:
$$\frac{d}{dx} x^2 = 2x$$\(x_0 = 1\)이면 순간 기울기는 \(2 \cdot 1 = 2\), \(x_0 = 3\)이면 \(2 \cdot 3 = 6\)입니다.
확인: 왜 0/0이 아닌가
처음 식 \(\dfrac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h}\)에 \(h = 0\)을 바로 대입하면 \(\dfrac{0}{0}\)이 됩니다. 이건 사실입니다. 하지만 우리는 \(h = 0\)을 대입하는 것이 아니라, \(h \neq 0\)인 상태로 식을 전개해 \(2x_0 + h\)를 얻었고, 그 뒤에 극한을 취했습니다. 두 과정의 순서가 중요합니다.
먼저 \(h \neq 0\)에서 약분 → 그다음 \(h \to 0\) 극한.
직접 눈으로 확인하기
아래 인터랙티브에서 h 슬라이더를 왼쪽으로 당겨 보세요. 처음에 P와 Q가 멀리 떨어져 있을 때는 할선(주황)이 접선(초록)과 다릅니다. h가 작아질수록 할선이 접선에 가까워지고, h ≈ 0이 되면 거의 겹칩니다.
프리셋 "x₀=1, h=1" → "x₀=1, h=0.5" → "x₀=1, h=0.01"을 순서대로 눌러보면, 할선 기울기가 3.000 → 2.500 → 2.010으로 줄면서 접선 기울기 2.000(=2x₀)에 점점 다가가는 것이 보입니다.
왜 이 방법이 말이 되는가 — 극한의 직관
"두 점을 같은 점으로 만드는 것"은 직선을 정의하는 방법이 아닙니다. 그러나 "두 점을 한없이 가까이 가져갔을 때의 경향"은 정의할 수 있습니다. 이것이 극한의 개념입니다.
달리 말하면, 미분은 이 질문에 대한 답입니다.
"Q를 P에 한없이 가까이 붙일 때, 할선의 기울기가 특정 값에 수렴하는가? 수렴한다면 그 값이 얼마인가?"
\(y = x^2\)에서는 수렴하고, 그 값이 \(2x_0\)입니다.
수렴하지 않는 함수도 있습니다. 예를 들어 \(y = |x|\)는 \(x = 0\)에서 왼쪽에서 접근하면 기울기 −1, 오른쪽에서 접근하면 +1로 달라져 극한이 존재하지 않습니다. 이 경우 \(x = 0\)에서 미분 불가능하다고 합니다.
\(dy\)와 \(dx\)는 무엇인가
\(\dfrac{dy}{dx}\)라고 쓰면 "진짜 분수처럼 위아래를 나누는 것 같다"는 느낌이 옵니다. 엄밀히는 분수가 아니라 극한의 결과를 분수 형태로 표기한 것입니다. 다만 이 표기에는 이유가 있습니다.
연쇄법칙 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}\)처럼 중간 변수 \(u\)가 약분되는 것처럼 보이는 성질이 실제로 성립합니다. 이 "약분처럼 보이는 것이 왜 진짜로 성립하는가"는 다음 글(연쇄법칙)에서 다룹니다.
핵심 정리
| 질문 | 답 |
|---|---|
| 미분이 0/0 아닌가? | 극한을 취하기 전에 식이 약분되어 0/0이 사라진다 |
| 과정 순서는? | h≠0에서 전개·약분 → 그다음 h→0 극한 |
| \(x^2\)의 도함수는? | \(2x\) (직접 유도) |
| 미분 불가능한 경우는? | 좌극한과 우극한의 기울기가 다를 때 |
AI로 이런 걸 공부할 때
미분의 정의 유도는 AI가 잘 처리합니다. 더 깊이 파고들고 싶을 때 물어볼 질문:
- "\(y = x^3\)을 미분의 정의로 직접 유도해 줘." (이항전개가 추가됨)
- "\(y = \sin x\)를 미분의 정의로 유도하면 왜 \(\cos x\)가 나오나?" (특수 극한 \(\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1\) 필요)
- "미분 가능이면 연속인 이유를 설명해 줘."
마치며
미분이 0/0처럼 보이는 이유는, 두 점이 같아지면 직선을 정의할 수 없기 때문입니다. 미분의 해답은 "같아지는 순간"이 아니라 "같아지기 직전까지의 경향"을 극한으로 포착하는 것입니다. 그 과정에서 분자와 분모의 \(h\)가 약분되어 0/0 문제는 애초에 발생하지 않습니다.
함께 보면 좋은 글 — 지수 e는 왜 하필 2.718…인가 · 로그는 왜 곱셈을 덧셈으로 바꿀까 · 아크탄젠트는 왜 붙을까 · 미분 계산 연습: Desmos · Wolfram Alpha