들어가며
합성함수 \(h(x) = g(f(x))\)를 미분할 때 쓰는 공식이 있습니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$여기서 \(y = g(u)\), \(u = f(x)\)입니다. 공식을 처음 보면 이런 의심이 생깁니다.
"분수처럼 \(du\)를 위아래에서 약분하면 \(dy/dx\)가 남는 건가? 이게 그냥 표기법의 우연인가, 아니면 진짜 이유가 있나?"
한 줄로 먼저 답하면 — \(x\)가 조금 바뀔 때 \(u\)가 어느 속도로 반응하고, \(u\)가 바뀔 때 \(y\)가 어느 속도로 반응하는지, 두 속도를 곱하면 \(x\)에서 \(y\)까지의 속도가 나오기 때문입니다. '곱하기'는 우연이 아니라, 변화율이 사슬처럼 전달되는 구조에서 필연적으로 나오는 결과입니다.
합성함수란 — 함수 안에 함수
합성함수(composite function) 는 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 넣은 것입니다. \(y = (x^2+1)^3\)을 예로 들겠습니다. 이 식은 두 단계로 나눌 수 있습니다.
$$u = f(x) = x^2 + 1 \qquad\qquad y = g(u) = u^3$$첫 번째 단계에서 \(x\)를 받아 \(u = x^2 + 1\)을 만들고, 두 번째 단계에서 그 결과 \(u\)를 받아 \(y = u^3\)을 만듭니다. 전체 흐름을 한 줄로 쓰면:
$$x \;\xrightarrow{\ f\ }\; u \;\xrightarrow{\ g\ }\; y$$\(x\)가 변하면 \(u\)가 바뀌고, \(u\)가 바뀌면 다시 \(y\)가 바뀝니다. 변화가 사슬처럼 전달됩니다.
기어 비유 — 변화율의 연쇄 전달
맞물린 기어(톱니바퀴) 두 개를 상상해 봅시다. 첫 번째 기어가 1만큼 돌면 두 번째 기어가 3만큼 돌고, 두 번째 기어가 1만큼 돌면 세 번째 기어가 2만큼 돈다면 — 첫 번째 기어가 1만큼 돌 때 세 번째 기어는 3 × 2 = 6만큼 돕니다. 중간 기어의 '회전량'이 맥락에서 사라지고, 두 비율이 곱해진 결과만 남습니다.
합성함수의 미분이 바로 이 구조입니다.
- \(x\)가 조금 바뀔 때 \(u\)는 (변화율 \(du/dx\))배만큼 바뀐다.
- \(u\)가 조금 바뀔 때 \(y\)는 (변화율 \(dy/du\))배만큼 바뀐다.
- 그러면 \(x\)가 조금 바뀔 때 \(y\)는 두 변화율의 곱만큼 바뀐다.
수식으로 확인하기 — 왜 곱하기가 나오나
\(x\)가 \(\Delta x\)만큼 변했다고 합시다. 그러면 \(u\)는 \(\Delta u\)만큼, \(y\)는 \(\Delta y\)만큼 변합니다. 이때 \(\Delta u \neq 0\)이면:
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$오른쪽 식의 \(\Delta u\)는 순수하게 약분됩니다 — 분수 곱셈의 기본 성질입니다. 이제 \(\Delta x \to 0\)으로 극한을 취하면 \(\Delta u \to 0\)도 따라오고(f가 연속이면), 각 비율이 도함수로 수렴합니다.
$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\right) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$단, \(\Delta u = 0\)이 되는 경우(f가 어떤 점 근방에서 극값을 가질 때)에는 이 단순 약분 논리가 어긋납니다. 엄밀한 증명은 이 경우를 별도로 처리하지만, 직관으로는 "변화율이 사슬처럼 전달되어 곱해진다"는 이해로 충분합니다.
구체적 예 — \((x^2+1)^3\) 직접 계산
\(f(x) = x^2 + 1\), \(g(u) = u^3\)으로 분해하고 연쇄법칙을 적용합니다.
| 단계 | 계산 결과 |
|---|---|
| 안쪽 변화율 du/dx | \(2x\) |
| 바깥쪽 변화율 dy/du | \(3u^2\) |
| 연쇄법칙 적용: dy/dx | \(3(x^2+1)^2 \cdot 2x\) |
정리하면:
$$\frac{d}{dx}(x^2+1)^3 = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2$$몇 가지 점에서 확인해 봅시다.
- \(x = 1\): 안쪽 변화율 \(2 \cdot 1 = 2\), 바깥쪽 변화율 \(3 \cdot (1^2+1)^2 = 3 \cdot 4 = 12\), 합성 변화율 \(2 \times 12 = 24\).
- \(x = 0\): 안쪽 변화율 \(2 \cdot 0 = 0\) → 합성 변화율도 \(0\). 안쪽 기어가 멈추면 바깥 기어도 멈춥니다.
- \(x = -0.8\): 안쪽 변화율이 \(-1.6\)(음수, x가 증가할 때 오히려 u가 감소하는 방향)이므로 합성 변화율도 음수입니다.
직접 체험하기
아래 인터랙티브에서 x 슬라이더를 움직여 보세요. 안쪽 변화율(du/dx)과 바깥쪽 변화율(dy/du)이 실시간으로 바뀌고, 두 값의 곱이 그래프의 접선 기울기와 정확히 일치하는 것을 확인할 수 있습니다.
프리셋 "x = 1"을 누르면 안쪽 변화율 2.000 × 바깥쪽 변화율 12.000 = 합성 변화율 24.000을 확인할 수 있습니다. "x = −0.8"에서는 안쪽 변화율이 음수가 되어 전체 접선이 아래로 기울어집니다.
"약분"은 진짜인가 — Leibniz 표기법 이야기
\(dy/dx = (dy/du) \cdot (du/dx)\)에서 \(du\)가 위아래로 사라지는 것처럼 보이는 이유가 있습니다. Leibniz는 \(dy\), \(dx\)를 "매우 작은 변화량"처럼 다루는 표기법을 고안했습니다. 엄밀히는 \(dy/dx\)가 분수가 아니라 극한의 결과이지만, 이 표기가 연쇄법칙을 포함한 많은 미분 규칙을 "마치 분수처럼" 조작할 수 있게 만듭니다.
왜 우연처럼 맞아떨어지는가 — 미분이 '순간 기울기'임을 유도한 과정에서 이미 그 단서가 있습니다. 극한으로 근사하는 과정에서 변화량들이 실제로 비율처럼 행동하기 때문입니다. 연쇄법칙의 '약분'은 편의상의 표기가 아니라, 변화율이 사슬로 전달된다는 현실을 Leibniz 표기법이 충실히 반영한 결과입니다.
핵심 정리
| 질문 | 답 |
|---|---|
| 연쇄법칙이란? | 합성함수 h = g(f(x))의 도함수: h'(x) = g'(f(x)) · f'(x) |
| 왜 곱하기인가? | x→u 변화율과 u→y 변화율이 사슬로 전달되어 곱해짐 |
| (x²+1)³의 도함수는? | \(6x(x^2+1)^2\) |
| du가 정말 약분되는가? | 근사 단계(Δu≠0)에서는 정확히 약분; 극한 처리에서 성립 확인 |
AI로 이런 걸 공부할 때
연쇄법칙 적용은 AI가 잘 처리합니다. 막히는 지점을 구체적으로 물어보세요.
유용한 질문 예시:
- "\(\sin(x^3)\)을 연쇄법칙으로 미분해 줘." (안쪽 함수 \(x^3\), 바깥쪽 \(\sin u\))
- "\(e^{-x^2}\)의 도함수를 유도해 줘." (정규분포와 연결되는 예)
- "연쇄법칙을 두 번 써야 하는 합성함수 예를 하나 들어 줘."
마치며
연쇄법칙의 핵심은 표기법의 '약분'이 아니라 변화율의 연쇄 전달입니다. \(x\)가 \(u\)를 통해 \(y\)에 영향을 미칠 때, 각 단계의 변화율이 곱해져 전체 변화율이 됩니다. 기어가 맞물리듯 속도가 전달되는 구조 그 자체가 연쇄법칙입니다.
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