들어가며
앞 글 마지막에 이렇게 예고했습니다. 두 함수를 곱한 것, 나눈 것을 미분할 때 왜 각각 따로 미분하면 안 되는지를 이어서 보겠다고요. 오늘이 그 이야기입니다.
먼저 아주 자연스러운 오해 하나를 도마 위에 올려 봅시다. 두 함수 \(f\)와 \(g\)를 곱한 \(f(x)\,g(x)\)를 미분할 때, 마음이 이렇게 속삭입니다.
"각자 미분해서 곱하면 되지 않을까? 그러니까 \((fg)' = f'g'\) 아닐까?"
그럴듯하게 들립니다. 그런데 이게 틀렸습니다. 정답은 항이 두 개입니다.
$$(fg)' = f'g + fg'$$왜 하나가 아니라 둘일까요. 이 글은 그 답을 직사각형 넓이라는 그림 하나로 세웁니다. 그림이 서고 나면, 나눗셈 \(f/g\)의 미분에 왜 갑자기 \(g^2\)과 마이너스 부호가 붙는지까지 — 외울 필요 없이 — 그 그림에서 저절로 흘러나옵니다.
1. 곱의 미분 — 넓이가 자라는 방향은 두 갈래다
\(f(x)\,g(x)\)라는 곱을 직사각형의 넓이라고 생각해 봅시다. 가로가 \(f\), 세로가 \(g\)인 직사각형이면 그 넓이가 정확히 \(fg\)죠. 이제 \(x\)를 아주 조금 \(\Delta x\)만큼 밀면, 가로도 세로도 각각 조금씩 늘어납니다.
- 가로 \(f\)는 \(\Delta f\)만큼 늘어난다(늘어나는 속도가 \(f'\)이니 \(\Delta f \approx f'\,\Delta x\)).
- 세로 \(g\)는 \(\Delta g\)만큼 늘어난다(마찬가지로 \(\Delta g \approx g'\,\Delta x\)).
직사각형은 이제 조금 커졌습니다. 그런데 새로 생긴 넓이가 어디에 붙었는지를 보면, 자리가 딱 세 군데로 갈립니다.
- 오른쪽 띠 — 세로는 원래 높이 \(g\) 그대로인데 가로만 \(\Delta f\)만큼 붙은 세로띠. 넓이 \(= g \cdot \Delta f\).
- 위쪽 띠 — 가로는 원래 폭 \(f\) 그대로인데 세로만 \(\Delta g\)만큼 올라간 가로띠. 넓이 \(= f \cdot \Delta g\).
- 오른쪽 위 모서리 — 가로도 세로도 둘 다 조금씩 늘어난 자리에만 생기는 아주 작은 사각형. 넓이 \(= \Delta f \cdot \Delta g\).
늘어난 전체 넓이는 이 셋의 합입니다.
$$\Delta(fg) = g\,\Delta f + f\,\Delta g + \Delta f\,\Delta g$$미분은 이 늘어난 넓이를 \(\Delta x\)로 나눈 뒤 \(\Delta x \to 0\)으로 보내는 것이었죠. 나눠 봅시다.
$$\frac{\Delta(fg)}{\Delta x} = g\,\frac{\Delta f}{\Delta x} + f\,\frac{\Delta g}{\Delta x} + \frac{\Delta f\,\Delta g}{\Delta x}$$앞의 두 항에서 \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\)는 \(f'\)으로, \(\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\)는 \(g'\)으로 다가갑니다. 문제는 마지막 모서리 항입니다. 여기서 \(\Delta f \approx f'\,\Delta x\)이니, 모서리 넓이는 \(\Delta f\,\Delta g \approx f'g'\,(\Delta x)^2\) — \(\Delta x\)가 두 번 곱해진 크기입니다. 이걸 \(\Delta x\) 하나로 나누면 \(f'g'\,\Delta x\)가 남고, \(\Delta x \to 0\)이면 통째로 0으로 사라집니다.
- 직관: 모서리는 '가로도 늘고 세로도 늘어야' 겨우 생기는 자리다. 두 작은 변화가 곱해진 만큼, 아주 작은 것에 또 아주 작은 것을 곱한 — 무시해도 되는 넓이다.
- 설명: 오른쪽 띠와 위쪽 띠는 \(\Delta x\)에 한 번 비례해 사라지지 않고 살아남지만, 모서리만 \(\Delta x\)에 두 번 비례해 극한에서 지워진다.
- 식: 그래서 살아남는 것은 두 띠뿐이다.
두 항이 나온 이유가 이제 손에 잡힙니다. 넓이가 자라는 방향이 오른쪽(가로가 늘어서)과 위(세로가 늘어서) 두 갈래이기 때문입니다. 한쪽은 "\(f\)만 변하고 \(g\)는 가만히", 다른 한쪽은 "\(g\)만 변하고 \(f\)는 가만히" — 그 두 몫을 더한 것이 곱의 미분입니다.
2. 그럼 왜 \(f'g'\)는 틀렸나 — 숫자로 한 번
그림으로 봤으니 이번엔 숫자로 확인해 봅시다. 가장 간단한 예로 \(f(x) = x\), \(g(x) = x\)를 골라 봅니다. 둘을 곱하면 \(f g = x \cdot x = x^2\)이고, 이건 정의대로 미분하면 \((x^2)' = 2x\)임을 우리는 이미 압니다.
이제 두 방법을 맞대어 봅시다.
| 방법 | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| 틀린 셈 \(f'g'\) | \(1 \cdot 1\) | \(1\) |
| 곱의 미분 \(f'g + fg'\) | \(1 \cdot x + x \cdot 1\) | \(2x\) |
\(f' = 1\), \(g' = 1\)이니 \(f'g' = 1\)로 상수가 나옵니다. 그런데 진짜 답은 \(2x\)죠. 두 항을 더한 곱의 미분만이 \(2x\)를 정확히 맞춥니다. 각각 미분해서 곱하면 두 띠 중 한쪽만 세고 다른 쪽을 통째로 빠뜨리는 셈이라, 답이 어긋나는 것입니다.
3. 몫의 미분 — 나눗셈을 '뒤집어 곱하기'로 바꾸면
이제 나눗셈 차례입니다. \(\dfrac{f}{g}\)를 미분하면 흔히 이렇게 외웁니다.
$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$분모에 \(g^2\)이 있고 위에는 마이너스가 붙습니다. 이 둘이 어디서 왔을까요. 새 공식을 외우는 대신, 나눗셈을 곱셈으로 바꿔 방금 세운 곱의 미분에 그대로 태우면 됩니다. 나누기는 역수를 곱하기죠.
$$\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$$이러면 곱의 미분을 쓸 수 있습니다. 단, 그 전에 \(\dfrac{1}{g}\)를 미분한 \(\left(\dfrac{1}{g}\right)'\)가 필요합니다. 이건 연쇄법칙 혹은 정의로 구할 수 있는데, 결과가 핵심입니다.
$$\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}$$- 직관: \(g\)가 커지면 그 역수 \(1/g\)는 작아진다. 그래서 \(g\)가 늘어나는 만큼 \(1/g\)의 변화는 반대 방향 — 마이너스가 여기서 태어난다.
- 설명: 왜 \(g^2\)인가. \(1/g\)를 정의대로 미분하면 통분 과정에서 분모가 \(g \cdot (g+\Delta g)\)가 되고, 극한에서 \(g \cdot g = g^2\)으로 굳는다. 역수를 미분하면 분모가 제곱으로 부풀어 나오는 것이다.
이 \(\left(\dfrac{1}{g}\right)' = -\dfrac{g'}{g^2}\)를 손에 쥐고, 이제 \(f \cdot \dfrac{1}{g}\)에 곱의 미분을 적용합니다.
$$\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)' = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot \left(\frac{1}{g}\right)' = \frac{f'}{g} + f \cdot \left(-\frac{g'}{g^2}\right)$$정리하면 이렇게 됩니다.
$$= \frac{f'}{g} - \frac{fg'}{g^2}$$앞 항의 분모 \(g\)를 \(g^2\)으로 통분하면(위아래에 \(g\)를 곱해 \(\dfrac{f'g}{g^2}\)), 두 분수가 한 지붕 아래 모입니다.
$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$외운 공식이 그대로 재현됐습니다. 그런데 이제 그 생김새가 다 설명됩니다.
- 마이너스는 — \(g\)가 커지면 \(1/g\)는 작아진다는 역수의 성질에서 나온 부호다.
- **\(g^2\)**은 — 역수 \(1/g\)를 미분할 때 분모가 제곱으로 부푸는 데서 나온 제곱이다.
- **두 항 \(f'g\)와 \(fg'\)**는 — 결국 곱의 미분에서 온, 그 두 띠의 후예다.
몫의 미분은 하늘에서 뚝 떨어진 별개의 규칙이 아니라, 곱의 미분에 '역수 미분'이라는 부품 하나를 끼운 것입니다.
4. 아래 인터랙티브로 직접 확인하기
직사각형을 슬라이더로 키우며, 넓이가 자라는 두 띠와 사라지는 모서리를 눈으로 좇아 봅시다.
- 곱 / 몫 모드를 버튼으로 바꿉니다. 곱 모드는 가로 \(f\)·세로 \(g\)의 직사각형, 몫 모드는 세로가 \(1/g\)인 직사각형입니다.
- 가로 \(f\)·세로 \(g\) 슬라이더로 직사각형의 크기를 정합니다. (늘어나는 속도 \(f'\)과 \(g'\)은 화면에 고정값으로 표시됩니다.)
- 간격 \(\Delta x\) 슬라이더를 0에 가깝게 줄이면, 초록 띠(오른쪽)와 파란 띠(위)는 살아남는데 빨간 모서리만 급격히 쪼그라들어 사라지는 것을 확인하세요. 이것이 \((fg)'\)에서 모서리 항이 극한에서 지워지는 장면입니다.
- 몫 모드에서는 위쪽 띠가 아래로(마이너스 방향으로) 자라는 것을 보세요. 세로 \(1/g\)가 \(g\)와 반대로 줄어들기 때문이며, 이것이 몫의 미분에 붙는 마이너스의 정체입니다.
만져 보면, 곱의 미분에 항이 둘인 이유도 몫의 미분에 제곱과 마이너스가 붙는 이유도 결국 같은 직사각형 하나에서 나온다는 것이 손끝에 남습니다.
5. 정리 — 한 장의 직사각형에서 두 규칙이 나온다
- 곱의 미분: \(fg\)를 직사각형 넓이로 보면, 넓이는 오른쪽 띠 \(g\,\Delta f\)와 위쪽 띠 \(f\,\Delta g\) 두 방향으로 자란다. 모서리 \(\Delta f\,\Delta g\)는 \(\Delta x\)에 두 번 비례해 극한에서 사라진다. 그래서 \((fg)' = f'g + fg'\).
- 왜 \(f'g'\)가 아닌가: 각각 미분해 곱하면 두 띠 중 한쪽만 세는 셈이라 답이 어긋난다(\(x \cdot x\)로 확인).
- 몫의 미분: \(f/g\)를 \(f \cdot (1/g)\)로 바꾸고, 역수 미분 \(\left(1/g\right)' = -g'/g^2\)을 곱의 미분에 끼우면 \(\left(f/g\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\)이 저절로 나온다. 마이너스는 역수의 성질에서, \(g^2\)은 역수 미분의 제곱에서 왔다.
두 규칙은 서로 다른 공식처럼 보이지만, 뿌리는 가로·세로가 함께 늘어나는 직사각형 한 장입니다. 곱의 미분이 그 뿌리이고, 몫의 미분은 거기에 역수라는 가지 하나를 더 뻗은 것입니다.
마치며
오늘까지 우리는 곱과 몫을 미분하는 규칙을 손에 넣었습니다. 그런데 아직 남은 큰 부품이 하나 있습니다. \(\sin x\)를 미분하면 왜 \(\cos x\)가 튀어나오는지, 함수 속에 함수가 든 겹겹의 구조를 어떻게 미분하는지 — 연쇄법칙과 삼각함수의 미분이 다음 이야기입니다. 오늘 직사각형으로 곱의 미분을 세운 것처럼, 그것들도 그림 한 장에서 자라 나오는 모습을 이어서 보겠습니다.
함께 보면 좋은 글
- 직선·1/x·√x를 정의대로 미분해 보면 — 오늘 규칙을 쓰기 전, 미분의 정의를 손으로 세 번 돌려 본 글. 이 글 마지막에서 오늘 주제를 예고했습니다.
- 할선은 왜 접선으로 변신하나 — 미분의 정의 — 곱의 미분 유도에 쓴 '늘어난 넓이를 \(\Delta x\)로 나눠 극한'의 뿌리.
- 연쇄법칙은 왜 '곱하기'인가 — 몫의 미분에서 쓴 역수 미분 \(\left(1/g\right)'\)의 배경이 되는 규칙.