100만 원이 반토막 나면 50만 원입니다. 거기서 50%가 오르면 75만 원입니다. 50%를 잃고 50%를 벌었으니 제자리일 것 같은데, 25만 원이 비어 있습니다.
$$1{,}000{,}000 \times 0.5 = 500{,}000 \qquad 500{,}000 \times 1.5 = 750{,}000$$처음 50%는 100만 원의 50%라서 50만 원이고, 두 번째 50%는 50만 원의 50%라서 25만 원입니다. 숫자는 똑같이 50%인데 붙는 돈이 다릅니다. 지난 강의에서 본 규칙 그대로, 퍼센트는 지금 통장에 있는 돈에 붙습니다. 50%를 잃은 뒤의 50%는 줄어든 통장의 50%라서, 잃은 돈보다 적습니다.
순서를 바꿔도 마찬가지입니다. 100만 원이 50% 올라 150만 원이 된 뒤의 −50%는 150만 원에 붙어 75만 원을 덜어 냅니다. 번 돈은 50만 원, 빠진 돈은 75만 원이라 역시 75만 원이 남습니다. 배율로는 어느 순서든 1.5 × 0.5 = 0.75입니다. 같은 퍼센트만큼 오르고 내리면 언제나 그 퍼센트를 제곱한 만큼 모자랍니다. 50%면 0.5 × 0.5 = 0.25, 곧 100만 원의 25%인 25만 원입니다.
그러면 본전, 곧 처음 넣은 원금 100만 원으로 돌아가려면 남은 50만 원이 몇 % 올라야 할까요. 절반만큼(+50%)이 아니라 자기 몸집만큼(+100%) 불어나야 합니다. 두 배가 되어야 합니다.
$$500{,}000 \times 2 = 1{,}000{,}000$$잃은 돈을 남은 돈으로 나눈다
방금 한 계산을 말로 풀면 이렇습니다. 남은 50만 원이 잃은 50만 원을 벌어 와야 합니다. 퍼센트는 지금 통장에 있는 50만 원에 붙으니, 물을 것은 "50만 원은 50만 원의 몇 %인가"입니다. 50 ÷ 50 = 1, 퍼센트로 100%입니다. 앞의 답과 같습니다.
그래서 규칙은 한 줄입니다. 되찾을 돈을 지금 남은 돈으로 나눈다. 20%를 잃었다면 되찾을 돈은 20만 원, 남은 돈은 80만 원이라 20 ÷ 80 = 0.25, 퍼센트로 25%입니다. 80만 원에 25%가 붙으면 20만 원, 합쳐서 100만 원입니다. 20%만 오르면 16만 원이 붙어 96만 원에서 멈춥니다(지난 강의의 그 96만 원입니다). 이렇게 본전까지 필요한 상승률을 복구 수익률이라고도 부릅니다.
하락률별로 모으면 이렇습니다. 100만 원에서 시작하고, 중간에 돈을 넣거나 빼지 않으며, 수수료와 세금은 없다고 본 계산입니다. 필요한 상승률은 소수 둘째 자리에서 반올림했습니다.
| 하락률 | 남은 돈 | 되찾을 돈 | 본전까지 필요한 상승률(되찾을 돈 ÷ 남은 돈) |
|---|---|---|---|
| −10% | 90만 원 | 10만 원 | +11.1% |
| −20% | 80만 원 | 20만 원 | +25% |
| −25% | 75만 원 | 25만 원 | +33.3% |
| −30% | 70만 원 | 30만 원 | +42.9% |
| −40% | 60만 원 | 40만 원 | +66.7% |
| −50% | 50만 원 | 50만 원 | +100% |
| −60% | 40만 원 | 60만 원 | +150% |
| −75% | 25만 원 | 75만 원 | +300% |
| −80% | 20만 원 | 80만 원 | +400% |
| −90% | 10만 원 | 90만 원 | +900% |
| −99% | 1만 원 | 99만 원 | +9,900% |
| −100% | 0원 | 100만 원 | 본전 불가(0으로는 나눌 수 없다) |
표를 위에서 아래로 읽으면 두 가지가 보입니다. 하락률이 작을 때는 필요한 상승률이 하락률과 거의 같습니다. −10%를 메우는 데는 약 11.1%면 됩니다. 하락률이 커질수록 둘은 빠르게 벌어집니다. −50%에는 +100%, −90%에는 +900%입니다. 나눗셈의 위(되찾을 돈)는 커지고 아래(남은 돈)는 작아지니, 나눈 값이 두 겹으로 커집니다. 아래가 0에 가까워질수록 끝없이 커집니다.
실제 시장에서도 같은 일이 있었습니다. 코스피는 2026년 6월 22일 9,114.55에서 7월 30일 5,593.56까지 38.6% 내렸습니다(둘 다 그날 장이 끝날 때의 값인 종가입니다). 표의 −30%와 −40% 사이입니다. 규칙대로 되찾을 3,520.99포인트를 남은 5,593.56포인트로 나누면 0.629, 6월 22일 자리로 돌아가려면 바닥에서 62.9%가 올라야 합니다. 2026년 9월 기준으로 이 구간은 시장 데이터의 코스피 페이지에서 볼 수 있습니다.
그 뒤 9월 28일까지 가장 높이 올라간 날은 9월 23일, 7,080.92였습니다. 바닥에서 26.6% 올랐습니다. 38.6% 빠지고 26.6% 올랐으니 12%쯤 모자라겠다 싶지만, 6월 22일보다는 아직 22.3% 낮습니다. 26.6%는 바닥 5,593.56에, 22.3%는 꼭대기 9,114.55에 붙은 퍼센트라서 서로 빼서 맞출 수 없습니다. 7,080.92에서 꼭대기까지는 22.3%가 아니라 28.7%를 더 올라야 합니다. 바닥에서 26.6%, 거기서 다시 28.7%를 배율로 이으면 1.266 × 1.287 ≈ 1.629, 처음 필요했던 62.9%입니다.
같은 계산을 배율로 적으면 한 줄입니다. 20% 빠진 돈은 처음의 0.8배입니다. 0.8에 무엇을 곱해야 1(본전)이 될까요. 1 ÷ 0.8 = 1.25입니다. 배율 1.25에서 원금 몫 1을 떼면 0.25, 곧 +25%입니다. (1+r)의 1은 원금이다에서처럼 빠진 비율을 r에 마이너스로 넣으면 이렇게 씁니다.
$$\text{필요한 상승률} = \frac{1}{1 + r} - 1 \qquad r = -0.2 \text{ 이면 } \frac{1}{0.8} - 1 = 0.25 = 25\%$$맨 아래 두 줄은 따로 봐야 합니다. −99%라면 남은 1만 원이 100만 원, 곧 100배가 되어야 합니다. 100배에서 원래 있던 1배를 떼면 99배가 늘어난 것이라 +9,900%입니다. 두 배가 +200%가 아니라 +100%였던 것과 같은 셈입니다. 까마득하지만 답은 나옵니다. −99.9%여도 +99,900%라는 답이 나옵니다.
−100%에서는 남은 돈이 0원이라 나눌 수가 없습니다. 식으로는 분모의 1 + r이 0이 됩니다. 0에는 무엇을 곱해도 0이라서, 그 뒤에 몇 %가 오르든 본전은 돌아오지 않습니다. 이 규칙이 멈추는 곳은 정확히 이 한 점입니다. −99%와 −100%는 1%p 차이지만 앞은 "아주 어렵다", 뒤는 "불가능하다"입니다. 그래서 하락률만큼은 반올림해 적으면 안 됩니다. −99.6%를 −100%로 적는 순간, 되돌릴 수 있는 돈이 되돌릴 수 없는 돈으로 바뀝니다.
곱셈의 자로 재면 같은 거리다
퍼센트 자로 재면 −50%와 +100%는 길이가 두 배나 차이 납니다. 한쪽은 50칸, 한쪽은 100칸입니다. 이번에는 한 칸을 "2로 나누기" 또는 "2를 곱하기"로 정한 자를 대 봅니다.
$$\frac{1}{4} \;\xleftarrow{\ \div 2\ }\; \frac{1}{2} \;\xleftarrow{\ \div 2\ }\; 1 \;\xrightarrow{\ \times 2\ }\; 2 \;\xrightarrow{\ \times 2\ }\; 4$$가운데 1이 본전입니다. 오른쪽으로 한 칸 가면 두 배, 왼쪽으로 한 칸 가면 절반입니다. 이 자에서 반토막(−50%)은 왼쪽 한 칸, 두 배(+100%)는 오른쪽 한 칸이라 길이가 같습니다. 방향만 반대입니다.
반토막이 두 번이면 왼쪽 두 칸입니다. 100만 원 → 50만 원 → 25만 원, 곧 −75%입니다. 되돌아오려면 오른쪽 두 칸, 25만 원 → 50만 원 → 100만 원이라 4배입니다. 4배에서 원래 1배를 떼면 3배가 늘어난 것이니 +300%입니다. 세 칸이면 −87.5%와 +700%입니다. 퍼센트로 적으면 75와 300, 87.5와 700이라 짝이 안 맞아 보이지만, 이 자 위에서는 왼쪽으로 간 칸 수만큼 오른쪽으로 오면 본전입니다.
오른쪽으로 한 칸 가는 데 걸리는 시간은 돈이 얼마나 빨리 불어나느냐에 달려 있습니다. 해마다 6%씩 불어난다면 1.06을 열두 번 곱해야 2.01, 두 배를 조금 넘깁니다. 반토막 한 칸을 되돌리는 데 12년이 드는 셈입니다.
한 칸이 "×2"처럼 같은 배율로 정해진 자를 로그 눈금이라고 부릅니다. 곱셈으로 움직이는 돈을 재기에 알맞은 자라서, 복리와 시간 단원에서 따로 만듭니다. 그 전에 돈의 산수 단원의 마지막 강의가 남았습니다. 퍼센트·소수·달러·원이 한 계산에 섞이면 어디서 100배가 틀리는지를 100만 달러 이자를 원화로 바꾸며 따라갑니다.